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高中数学排列组合易错题归纳解析

  • 作者: admin
  • 来源: 未知
  • 发表于2012-08-08 16:21
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  •   排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化,稍不注意,极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析,以飨读者.
      1没有理解两个基本原理出错
      排列组合问题基于两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.
      例1(1995年上海高考题)从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有    种.
      误解:因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机,所以只有2种取法.
      错因分析:误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法,每类办法中都还有不同的取法.
      误解:把四个冠军,排在甲、乙、丙三个位置上,选A.错因分析:误解是没有理解乘法原理的概念,盲目地套用公式.
      正解:四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有3种选取方法,由乘法原理共有3×3×3×3种.说明:本题还有同学这样误解,甲乙丙夺冠均有四种情况,由乘法原理得43.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后,其他人就不再有4种夺冠可能.
      2判断不出是排列还是组合出错
      在判断一个问题是排列还是组合问题时,主要看元素的组成有没有顺序性,有顺序的是排列,无顺序的是组合.例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法?
      3重复计算出错
      在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等,这些问题要注意避免重复计数,产生错误。例4(2002年北京文科高考题)5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为(    )
      (A)480 种         (B)240种       (C)120种         (D)96种
      例5  某交通岗共有3人,从周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值2天,其不同的排法共有(    )种.
      (A)5040          (B)1260       (C)210         (D)630
      误解:第一个人先挑选2天,第二个人再挑选2天,剩下的3天给第三个人,
      5忽视题设条件出错
      在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号,不然就可能多解或者漏解.
      6未考虑特殊情况出错
      在排列组合中要特别注意一些特殊情况,一有疏漏就会出错.
      例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张,100元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种数是(    )
      (A)1024种        (B)1023种        (C)1536种        (D)1535种
      8解题策略的选择不当出错
      有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难,要采取适当的解决策略,如间接法、插入法、捆绑法、概率法等,有助于问题的解决.
      例10  高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有(    ).
      (A)16种     (B)18种      (C)37种        (D)48种
      误解:甲工厂先派一个班去,有3种选派方法,剩下的2个班均有4种选择,这样共有3×4×4=48种方案.
      错因分析:显然这里有重复计算.如:a班先派去了甲工厂,b班选择时也去了甲工厂,这与b班先派去了甲工厂,a班选择时也去了甲工厂是同一种情况,而在上述解法中当作了不一样的情况,并且这种重复很难排除.
      正解:用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即:4×4×4-3×3×3=37种方案.
      排列组合问题虽然种类繁多,但只要能把握住最常见的原理和方法,即:“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”,留心容易出错的地方就能够以不变应万变,把排列组合学好.