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椭圆曲线“切点弦”的性质

  • 作者: 小编
  • 来源: 学习信息网整理
  • 发表于2014-07-02 23:36
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  •   本人通过对椭圆曲线性质的研究,得出椭圆曲线切点弦的一条有趣的性质,现把它的探索过程写出来,与大家分享。
      为了方便,不防从抛物线进行探究,然后再推广到其他椭圆曲线。
      y2=2px(p>0)的准线l上任意一点p作抛物线的两条切线,设切点分别为A、B,我们把线段AB称为“切点弦”(下同),则切点弦AB必过定点
            椭圆
    所以切点弦AB所在的直线方程是tp=p(x-p/2))
    即切点弦恒过定点F(2(p),0),即为抛物线y2=2px(p>0)的焦点
    探究 1:如果性质1中直线L非抛物线的准线l,而是直线l:x=-c(c>0),那么切点弦AB是否也具有类似的性质呢?
    【问题2】自直线l:x=-c(c>0)上任意一点p作抛物线y2=2px(p>0)的两条切线,设切点分别为A、B,则切点弦AB必恒经过定点
    证明:设A(x1 ,y1)B(x2 ,y2),P(-c,t)(c>0)
    则经过点P的两条切线的方程是
    Ty1=p(x1-c)③   ,ty2=p(x2-c)④
    由③ ④得,显然A(x1 ,y1)B(x2 ,y2)都在直线ty=p(x-c)上,
    切点弦AB所在的直线的方程是ty=p(x-c)
    切点弦恒过定点(c,0)显然性质1是性质2的特殊情形
    探究2:一般地,如果性质2中直线x=-c(c>0)改为直线l:y=kx+b(其中k,b为常量),且l与抛物线y2=2px(p>0)没有公共点,那么切点弦AB是否也具有类似的性质呢?
    【问题3】若直线l:y=kx+b(其中k,b为常量),且l与抛物线y2=2px(p>0)没有公共点,自直线l上任意一点P作抛物线的两条切线,设切点分别为A、B,那么切点弦AB恒过定点
    我们之所以假设直线l与抛物线没有公共点,是因为如果直线l与抛物线相交,那么过l上任意一点并不总能作抛物线的切点;如果直线l与抛物线相切,那么切点弦显然恒过定点(即切点)
    椭圆
    (kt+b)y=p(x+t)上,所以切点弦AB所在的直线的方程是(kt+b)y=p(x+t)
    k≠0, (kt+b)(y-k(p))=p(x-k(b)),所以切点弦AB恒过定点(k(p),k(b)
    现在我们将抛物线切点弦的这条性质推广到椭圆和双曲线(只以椭圆为例)
    【问题4】设直线l:y=kx+m(其中k,m为常量)与椭圆C:a2(x2) + b2(y2) =1(a>b>0)没有公共点,直线l上任意一点p作椭圆C的两条切线,设切点分别为A、B则切点弦AB恒过定点(-m(a2k),m(b2))
    证明:设A(x1 ,y1),B(x2 ,y2),P(t,kt+m)
    椭圆
      同理可以得出:设直线l:y=kx+m(其中k,m为常量)与圆C:x2+y2=r2(r>0)没有公共点,自直线l上任意一点P作椭圆C的两条切线,设切点分别为A、B,则切点弦AB恒过定点(-- ,)
      综上所述,我们得到椭圆曲线切点弦的性质如下:
      【椭圆曲线切点弦的性质】已知定直线l与椭圆曲线C没有公共点,自直线l上任意一点P作椭圆C的两条切线,设切点分别为A、B,则切点弦AB恒过定点。