高中数学函数值域的12种求法

　　一．观察法
　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
　　例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
　　解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
　　故3+√(2－3x)≥3。
　　∴函数的知域为  .
　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
　　二．反函数法
　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
　　三．配方法
　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
　　例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
　　解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
　　∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
　　练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
　　四．判别式法
　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
　　例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
　　解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0         （＊）
　　当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
　　当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
　　练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
　　五．最值法
　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
　　解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
　　当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
　　∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为               （  ）
　　A．（－∞，＋∞）  B．[－7，＋∞]  C．[0，＋∞）  D．[－5，＋∞）
　　（答案：D）。
　　六．图象法
　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
　　例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
　　解：原函数化为 －2x+1  (x≤1)
　　y= 3 (-1<x≤2)
　　2x-1(x>2)
　　它的图象如图所示。
　　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。