椭圆曲线“切点弦”的性质

　　本人通过对椭圆曲线性质的研究，得出椭圆曲线切点弦的一条有趣的性质，现把它的探索过程写出来，与大家分享。
　　为了方便，不防从抛物线进行探究，然后再推广到其他椭圆曲线。
　　y2=2px（p>0）的准线l上任意一点p作抛物线的两条切线，设切点分别为A、B，我们把线段AB称为“切点弦”（下同），则切点弦AB必过定点
       
所以切点弦AB所在的直线方程是tp=p(x-（p/2))
即切点弦恒过定点F（2(p)，0），即为抛物线y2=2px（p>0）的焦点
探究 1：如果性质1中直线L非抛物线的准线l，而是直线l：x=-c(c>0),那么切点弦AB是否也具有类似的性质呢？
【问题2】自直线l：x=-c(c>0)上任意一点p作抛物线y2=2px（p>0）的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB必恒经过定点
证明：设A（x1 ，y1）B（x2 ，y2），P（-c,t）(c>0)
则经过点P的两条切线的方程是
Ty1=p(x1-c)③   ,ty2=p(x2-c)④
由③ ④得，显然A（x1 ，y1）B（x2 ，y2）都在直线ty=p(x-c)上，
切点弦AB所在的直线的方程是ty=p(x-c)
切点弦恒过定点（c，0）显然性质1是性质2的特殊情形
探究2：一般地，如果性质2中直线x=-c(c>0)改为直线l：y=kx+b(其中k,b为常量)，且l与抛物线y2=2px（p>0）没有公共点，那么切点弦AB是否也具有类似的性质呢？
【问题3】若直线l：y=kx+b(其中k,b为常量)，且l与抛物线y2=2px（p>0）没有公共点，自直线l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A、B，那么切点弦AB恒过定点
我们之所以假设直线l与抛物线没有公共点，是因为如果直线l与抛物线相交，那么过l上任意一点并不总能作抛物线的切点；如果直线l与抛物线相切，那么切点弦显然恒过定点（即切点）

（kt+b）y=p(x+t)上，所以切点弦AB所在的直线的方程是（kt+b）y=p(x+t)
k≠0， （kt+b）(y-k(p))=p(x-k(b))，所以切点弦AB恒过定点（k(p),k(b)）
现在我们将抛物线切点弦的这条性质推广到椭圆和双曲线（只以椭圆为例）
【问题4】设直线l：y=kx+m(其中k,m为常量)与椭圆C：a2(x2) + b2(y2) =1（a>b>0）没有公共点，直线l上任意一点p作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B则切点弦AB恒过定点（-m(a2k),m(b2))
证明：设A（x1 ，y1），B（x2 ，y2），P(t,kt+m)

　　同理可以得出：设直线l:y=kx+m(其中k,m为常量)与圆C：x2+y2=r2（r>0）没有公共点，自直线l上任意一点P作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB恒过定点（-- ，）
　　综上所述，我们得到椭圆曲线切点弦的性质如下：
　　【椭圆曲线切点弦的性质】已知定直线l与椭圆曲线C没有公共点，自直线l上任意一点P作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB恒过定点。